Matematika je bauk s razlogom

U nedavnom broju “Vremena” pokrenuta je tema nastave matematike, tj “bauka matematike“. Nažalost, u tekstu je izostao kritički osvrt nad obiljem ukorenjenih predrasuda koje se već duže vreme uzimaju zdravo za gotovo o praktično svakoj diskusiji o obrazovanju. Iako to ne kažu uvek eksplicitno, očigledno je da autor i/ili njegovi sagovornici veruju u sledeće sporne stavove :

1. Cilj matematike je da poboljša razmišljanje i izgradi karakter.

Ko god sebi ovo postavi kao cilj biće razočaran. Znanje matematike ne poboljšava razmišljanje, iako su ljudi koji precizno razmišljaju po pravilu dobri u matematici. Ali ta veza je rezultat urođene sklonosti ka matematici/preciznom razmišljanju, a ne efekat matematičkog znanja na razmišljanje. Ta ideja, o globalnim efektima matematičkog znanja na druge oblasti znanja i života je deo diskreditovane doktrine “transfera znanja”, koja pretpostavlja da se stečena znanja lako uopštavaju i prenose sa domena na domen, pa tako na primer kad osoba dobro savlada gradivo formalne logike, ona postaje majstor u logičkom zaključivanju na svaku temu.

Ništa nije dalje od istine. Sve što znamo o ljudskoj psihologiji pokazuje upravo suprotno: da ljudi razmišljaju konrektno, a ne apstraktno1 i da vrlo teško primenjuju stečeno znanje na nove kontekste. U meri u kojoj je cilj škole da učenici nauče primenu matematike, onda ta primena u najvećem broju slučajeva mora posebno da se izvežba, jer se njeno spontano proizilaženje iz znanja matematike ne sme podrazumevati. (Ovo takođe znači da učenike treba posebno spremati za sve međunarodne testove matematike bazirane na primeni matematike a ne baratanju matematičkim pojmovima. Plan ministra prosvete da učenike spremi za novi PISA test2 je potpuno opravdan, i to bi bio čak i kad bi znanje matematike bilo na višem nivou nego što jeste.)

Međutim, primena matematike ne sme da zameni znanje matematike, u smislu baratanja matematičkim pojmovima i tehnikama, jer je svrha znanja matematike samo to znanje, koje je neophodan uslov za sve inženjerske, veći broj prirodnih a sve češće i društvenih nauka. Primera radi, ko ne zna algebru ne može da savlada diferencijalni račun, a ko to ne može da savlada može da se, za početak, pozdravi sa praktično svim inženjerskim zanimanjima, većim brojem prirodnih nauka i ekonomijom. Time takođe sebi trajno ograničava razumevanje svake oblasti koja koristi statistiku.

“Mnogi od osnovaca teško će prihvatiti tvrdnje da je matematika važna za traženje optimalnih rešenja za životne probleme, precizno izražavanje i razumevanje.”, kaže autor teksta. To uopšte ne čudi i njihov otpor je potpuno na mestu. S druge strane, matematika će im jednog dana u budućnosti dati mogućnost da se bave velikim spektrom vrlo dobro plaćenih poslova. Ako sad ne uskoče u taj voz, posle će ga vrlo teško uhvatiti, jer, pogotovo u matematici, taj voz sa svakom godinom juri sve brže i brže. Ubeđivanjem klinaca kako je dvosatno drndanje podudarnosti trouglova upravo “podstaklo pravilan način razmišljanja i zaključivanja mladog čoveka“ i omogućilo da “pravilno rasuđuje i donosi pravilne zaključke, kao i da razvije upornost i preciznost u radu“ roditelji i nastavnici rizikuju svoj kredibilitet.

2. Sa pravim nastavnikom i/ili ispravnim pedagoškim stavom, učenje matematike je zabavno.

Učenje matematike nikad neće biti zabavno velikom broju ljudi. Tekst pominje kako je matematika deci ranog uzrasta bila "zabavna jer su slagali brojeve", zanimljivo je bilo i "kada smo crtali neke čizme pa smo ih posle sabirali".

Nažalost, crtanje čizama je zabavno upravo zato što nema veze sa matematikom. Možemo mi i gledanje televizora da nazovemo ‘rešavanje integrala’ i da to koristimo kao dokaz da je matematika u osnovi laka i zabavna. Ali jasno je da to ne rešava problem učenja matematike, već naprotiv, vodi u nove stranputice.

Razlog zašto je matematika dosadna je, u osnovi, to što ljudi nisu evoluirali u modernim gradovima nego u malim, tehnološki primitivnim grupama. Kao rezultat toga, prirodna selekcija je favorizovala one osobine koje su donosile evolutivnu prednost u tom okruženju – osobine koje danas mogu ali ne moraju da budu adaptivne. Primera radi: za nekog ko živi u maloj grupi ljudi, poznavanje informacija o tome ko je kome šta uradio je od fundamentalnog značaja, i to je koren univerzalne ljudske potrebe za tračevima (u modernom okruženju, ovaj instinkt ima tu neobičnu posledicu da ljudi sakupljaju informacije o slavnim ličnostima – ljudima sa kojima nemaju nikakve veze, ali koji su opažajno stalno prisutni, što je nekad davno značilo i zaista relevantni). S druge strane, interesovanje za matematičke teoreme u ovom okruženju nije praistorijskom genijalcu donosilo ni novac ni žene, ma koliko da se danas isplati. Dok su i male bebe sposobne da detektuju neke ekstremno elementarne aritmetičke zakonitosti3, to je hiljadama milja daleko od modernog matematičkog znanja koje današnje okruženje zahteva.

Dakle, ravnodušnost ako ne i otpor prema matematici je, u suštini, fundamentalna osobina ljudskih bića. I to ograničenje treba uzeti u obzir i prilagoditi mu se, umesto se zavaravati da pogodnom prezentacijom matematika može da postane zanimljiva. Kao i pismo, matematika je s mukom smišljen kulturni proizvod a ne prirodni instinkt. Osim u slučaju retkih pojedinaca, ona neće izazivati entuzijazam, mada dug, redovan i temeljan rad može njeno učenje da učini manje mučnim4.

Sve ovo ne znači da je način na koji se matematika predaje potpuno irelevantan. Postoje dobri i loši nastavnici matematike, ali kvalitet nastavnika nije u tome u kojoj meri je u stanju da učenika zabavi, nego u kojoj meri je u stanju da ga nauči matematici. Osnovni uslovi za potonje su da 1) nastavnik sam dobro barata matematikom, što na žalost nije uvek slučaj 2) je nastavnik u stanju da shvati šta učenicima nije jasno. Kao što je napomenuo jedan od sagovornika u tekstu, problem u matematici nastaje pre svega zbog propusta u prethodnom gradivu. U idealnom slučaju, nastavnik je u stanju da identifikuje o kom konkretno propustu se radi, odvoji učenikovo znanje od neznanja, i koristeći učenikova ostrva znanja (a koja po pravilu postoje i kod najgorih učenika) popravi izjedene temelje i postepeno ugradi novo gradivo.

3. Što je gradivo manje, to 'će biti bolje savladano.

Ovo uopšte ne sledi, iako naravno može da bude tačno u nekim slučajevima. Kad je gradivo obimno, ono nije obimno na način na koji je obiman telefonski imenik, gde se radi o prostom dodavanju novih informacija, nepovezanih sa prethodnim. Kad je školsko gradivo obimno, ono je po pravilu obimno zbog svoje dubine, koja je rezultat velikog broja distinkcija (što je osnova preciznosti kojoj se navodno teži) i činjenica kojima se te distinkcije ilustruju tj. povezuju. Što će reći, dodatne informacije koje čine obim predmeta većim, nisu nasumično dodati faktoidi, nego deo mreže informacija povezan sa svim ostalim delovima.

Kada se od učenika očekuje da savlada ovo obimno gradivo, on savladavanjem “nepotrebnih” finesa neprekidno utvrđuje i “suštinu” gradiva, jer su sve ove finese nadgradnja te suštine. Kasnije, kad se finese zaborave, osnova ostaje bolje zapamćena, jer je više puta ponovljena i mnogo bolje elaborirana (povezana sa drugim stvarima), čak i kad su pojedinosti te elaboracije zaboravljene.

Nasuprot tome, kad se gradivo smanji i svede samo na svoju tzv. suštinu, postoje realne šanse da se ni ta suština ne zapamti kako treba. Prosto, gradivo na marginama te suštine nema sa čim da se poveže, i postepeno se zaboravlja, tako da se na kraju zapamti samo “suština suštine”. To na prvi pogled zvuči dobro ali se u mnogim slučajevima svodi na magloviti obris osnovne teme predmeta.

4. U školskom gradivu se nalazi gomila nepotrebnih stvari.

Kad neko veruje da matematika treba (i može) da bude zabavna, i da je njen cilj da se poboljša moć razmišljanja u svakodnevnom životu, onda nije ni čudo da mu izgleda da je gomila gradiva potpuno nepotrebna. Iz te perspektive ona to zaista i jeste.

Međutim, kad se shvati da je svrha učenja matematike znanje matematike a ne sticanje životne mudrosti ili zabava, onda količina “nepotrebnog” gradiva postaje neuporedivo manja. Gradivo matematike se neprekidno nadograđuje. Ono što početniku izgleda nepovezano (kao npr. geometrija i algebra) se na višim nivoima prepliće, a naizgled nepotrebno isterivanje maka na konac je osnova na kojoj se kasnije grade fundamentalne distinkcije. Zapravo, volela bih da mi se navede i jedna lekcija iz matematike koja nije potrebna za razumevanje gradiva u nekoj kasnijoj fazi. Jer matematika je zaista poslednje mesto gde postoje neka “nepotrebna” znanja.

Priča o tzv. nepotrebnom gradivu je nešto što se neprekidno ponavlja (ah te čuvene statistike o broju svinja u Angoli koje smo navodno svi znali da odrecitujemo u sred noći), a ovo je samo njena inkarnacija u oblasti matematike.

Dobar deo gradiva većina učenika nikad neće iskoristiti, iako će ga jedan deo učenika stalno koristiti. Ljudi se koncentrišu na svoj slučaj, i iz perspektive svoje životne sudbine, koju ni oni sami a pogotovo ne njihovi nastavnici ili kreatori programa nisu mogli da predvide, ocenjuju šta je trideset godina ranije bilo “nepotrebno”. Ali, čak i da prihvatimo sumnjivu tezu da su ljudi u stanju da objektivno sagledaju svoju sopstvenu sudbinu, ono što je bilo nepotrebno njima je bilo preko potrebno nekom drugom. Verujem da neki đaci iz mog odeljenja u osnovoj školi misle kako smo mi tamo nepotrebno učili množenje polinoma (kao što bih i ja, da ne znam bolje, mislila kako smo nepotrebno tesali šper-ploče). Ali meni, na primer, to je bilo mnogo puta potrebno. I to ne zato što me je to “naučilo da mislim”, nego zato što su mi te konkretne lekcije omogućile da savladam novo gradivo, što u matematici, što u prirodnim i tehničkim naukama.

Drugo, ljudi su generalno veoma skloni tzv. “presentism”-u5 – gledanju budućnosti kroz prizmu sadašnjosti, što ima kao rezultat potcenjivanje mogućnosti kvalitativnih promena. Stoga, nije zgoreg podsetiti da niko ne može da zna kakvo tačno znanje će u budućnosti da bude potrebno. Znanje tj. ideja koja u jednom trenutku izgleda kao da joj je prošao rok, kasnije, na iznenađenje svih, može da se pokaže kao nova i aktuelna. Kad sam ja išla u osnovnu školu, na primer, učenje ruskog se smatralo kao gubljenje vremena, relikt iz starih vremena veštackog uspostavljanja simetrije između blokova. Ali, mnogo godina kasnije u Americi, znanje ruskog (kamo sreće da je bolje!) predstavlja komparativnu prednost. To naravno ne znači da svi treba da uče ruski, ali ukazuje na lakomislenost olakog proglašavanja znanja prevaziđenim i nepotrebnim.

Niko ne može tačno da predvidi koliko će u budućnosti biti korisno poznavanje algoritma za vađenje kvadratnog korena. Verovatno će biti nepotrebno, ali šta ako to nekome bude inspiracija za neki budući Google? Broj dobrih ideja je iznenađujuće mali i većina njih se, pošto u jednom obliku propadne, ponovo javlja u novim oblicima. “Nepotrebne” ideje koje su danas na zalasku će možda ponovo biti hit baš kad današnji učenici budu na vrhuncu karijera. A svi oni mogu da osete posledice ishiterenog smanjivanja gradiva zbog nečije iluzije da se budućnost može pouzdano predvideti.